求右邊圖形的周長(巧求圖形的周長)
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巧求圖形的周長
【例題】求圖中所示圖形（每一個小正方形的頂點恰在另一個正方形的中心，且邊長相互平行）的周長。
分析：我們可以先把豎向線段平移。平移見下圖：
圖中是先把左邊的橫線線段平移，由此我們可以算出左邊的橫向線段：
長：2 1×7=9（厘米）
分析：我們拿左邊最后一個圖形長度的2厘米加上其它圖形的長度。我們可以發現，其它圖形的長度都是左邊最后一個圖形的1/2，則我們可以拿去左邊最后一個圖形的二厘米除以二就等于一厘米，這二厘米是算出左邊每一個正方形的邊長（除了左邊最下面的圖形）。豎向線段右邊的和左邊的是一樣的。右邊的也是拿去2 1×7，得數等于9。
所以豎向線段的總共長度是9 9=18（厘米）
接下來我們來算橫向圖形的周長
同樣也是先平移（見圖片）
平移之后我們可以發現橫向線段的長度和豎向線段的的長度是相等的，算左邊和算右邊的算式也是2 1×7=9（厘米）左邊和右邊都是9厘米，則算式就是9 9=18（厘米）
最后我們來算這個圖形一共的周長
則是18 18=36（厘米）
答：這個圖形的周長一共是36厘米。
好了，今天的學習就到這里了，如果大家喜歡我的文章，請大家點贊、轉發，今天的題目大家學會了嗎？我們下期再見！
注：如果大家有什么疑問，請在今日頭條或者西瓜視頻的私聊里邊問，我會幫助你解決的。@王老師42
一道高中幾何題-求三角形的最小周長
一道高中幾何題-求三角形的最小周長
在圖中AB=10， BC=14， AC=16， M是BC的中點， 通過M點可以畫很多線與AB交于P，與AC交于Q， 證明并求出三角形APQ的最小周長。
解：我們在一道題中曾經證明過下圖中的問題，證得過三角形AVW的周長之和切線長有關。詳見一道初中幾何題，求證三角形的周長為定值
本題若果M點做個圓并且與AB和AC兩條直線相切，這個圓是存在的。
若從M點做圓的切線，則形成的三角形APQ的周長為最小。如圖所示的AVW，下面分析和證明這個結論。
我們證明三角形AVW的第三個邊經過M就是最小周長的三角形，從上面的結論中這個周長等于AY AZ。
若從M做其它三角形，由于經過M只有一條切線，所以其它線一定與圓有另一交點，
然而這條線可以由另一個圓同時與AB和AC相切以及這條線相切，這條切線與AB和AC相交于Y’和Z’。但PMQ將最初的圓切割交于兩點， 為了相切，這個圓必須要向右側移動，因此兩個切點Y’, Z’也要向外側移動，說明周長在增大（因為根據前面的引理，周長只與切線有關），因此證明了M是切點時的三角形形APQ有最小周長。
接下來就是如何解三角形的問題。
我們現在確定三角形AVW的周長， 注意到切線AZ的長度是可以求出的，因為三角形AVW的周長=AY AZ， 但AY=AZ， 所以周長就是2AZ。
首先求角A的大小， 利用余弦定理：
接著是確定圓心和半徑，這樣利用解析幾何確定各點的坐標是容易求得切線的長度的。
如圖標出A， B， C三點坐標， 由于M是BC的中點， 可以求出M的的坐標。
利用中點公式， M點的坐標為：
即為：
設圓的半徑為r, 圓心很容易求出，
則圓的方程為，
又因為切線AZ的長度為√3r, 所以三角形的最小周長為：
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1、什么是圖形的周長？
圍成一個圖形所有邊長的總和就是這個圖形的周長。
2、什么是面積？
物體的表面或圍成的平面圖形的大小叫做他們的面積。
3、加法各部分的關系：
一個加數=和-另一個加數
4、減法各部分的關系：
減數=被減數-差 被減數=減數 差
5、乘法各部分之間的關系：
一個因數=積÷另一個因數
6、除法各部分之間的關系：
除數=被除數÷商 被除數=商×除數
7、角
（1）什么是角？
從一點引出兩條射線所組成的圖形叫做角。
（2）什么是角的頂點？
圍成角的端點叫頂點。
（3）什么是角的邊？
圍成角的射線叫角的邊。
（4）什么是直角？
度數為90°的角是直角。
（5）什么是平角？
角的兩條邊成一條直線，這樣的角叫平角。
（6）什么是銳角？
小于90°的角是銳角。
（7）什么是鈍角？
大于90°而小于180°的角是鈍角。
（8）什么是周角？
一條射線繞它的端點旋轉一周所成的角叫周角，一個周角等于360°.
8、垂直問題
（1）什么是互相垂直？什么是垂線？什么是垂足？
兩條直線相交成直角時，這兩條線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足。
（2）什么是點到直線的距離？
從直線外一點向一條直線引垂線，點和垂足之間的距離叫做這點到直線的距離。
9、三角形
（1）什么是三角形？
有三條線段圍成的圖形叫三角形。
（2）什么是三角形的邊？
圍成三角形的每條線段叫三角形的邊。
（3）什么是三角形的頂點？
每兩條線段的交點叫三角形的頂點。
（4）什么是銳角三角形？
三個角都是銳角的三角形叫銳角三角形。
（5）什么是直角三角形？
有一個角是直角的三角形叫直角三角形。
（6）什么是鈍角三角形？
有一個角是鈍角的三角形叫鈍角三角形。
（7）什么是等腰三角形？
兩條邊相等的三角形叫等腰三角形。
（8）什么是等腰三角形的腰？
有等腰三角形里，相等的兩個邊叫做等腰三角形的腰。
（9）什么是等腰三角形的頂點？
兩腰的交點叫做等腰三角形的頂點。
（10）什么是等腰三角形的底？
在等腰三角形中，與其它兩邊不相等的邊叫做等腰三角形的底。
（11）什么是等腰三角形的底角？
底邊上兩個相等的角叫等腰三角形的底角。
（12）什么是等邊三角形？
三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，也叫正三角形。
（13）什么是三角形的高？什么叫三角形的底？
從三角形的一個頂點向它的對邊引一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高，這個頂點的對邊叫三角形的底。
（14）三角形的內角和是多少度？
三角形內角和是180°.
10、四邊形
（1）什么是四邊形？
有四條線段圍成的圖形叫四邊形。
（2）什么是平等四邊形？
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
（3）什么是平行四邊形的高？
從平行四邊形一條邊上的一點到對邊引一條垂線，這個點和垂足之間的線段叫做四邊形的高。
（4）什么是梯形？
只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。
（5）什么是梯形的底？
在梯形里互相平等的一組邊叫梯形的底（通常較短的底叫上底，較長的底叫下底）。
（6）什么是梯形的腰？
在梯形里，不平等的一組對邊叫梯形的腰。
（7）什么是梯形的高？
從上底的一點往下底引一條垂線，這個點和垂足之間的線段叫做梯形的高。
（8）什么是等腰梯形？
兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。
11、什么是自然數？
用來表示物體個數的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10……是自然數（自然數都是整數）。
12、什么是四舍五入法？
求一個數的近似數時，看被省略的尾數最高位上的數是幾，如果是4或者比4小，就把尾數舍去，如果是5或者比5大，去掉尾數后，要在它的前一位加1。這種求近似數的方法，叫做四舍五入法。
13、加法意義和運算定律
（1）什么是加法？
把兩個數合并成一個數的運算叫加法。
（2）什么是加數？
相加的兩個數叫加數。
（3）什么是和？
加數相加的結果叫和。
（4）什么是加法交換律？
兩個數相加，交換加數的位置后，它的和不變，這叫做加法交換律。
14、什么是減法？
已知兩個數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算叫做減法。
15、什么是被減數？什么是減數？什么叫差？
在減法中已知的和叫被減數，減去的已知數叫減數，所求的未知數叫差。
16、加法各部分間的關系：
和=加數 加數 加數=和-另一加數
17、減法各部分間的關系：
差=被減數-減數 減數=被減數-差 被減數=減數 差
18、乘法
（1）什么是乘法？
求幾個相同加數的和的簡便運算叫乘法。
（2）什么是因數？
相乘的兩個數叫因數。
（3）什么是積？
因數相乘所得的數叫積。
（4）什么是乘法交換律？
兩個因數相乘，交換因數的位置，它們的積不變，這叫乘法交換律。
（5）什么是乘法結合律？
三個數相乘，先把前兩個數相乘，再同第三個數相乘，或者先把后兩個數相乘，再同第一個數相乘，它們的積不變，這叫乘法結合律。
19、除法
（1）什么是除法？
已知兩個因數的積與其中的一個因數，求另一個因數的運算叫除法。
（2）什么是被除數？
在除法中，已知的積叫被除數。
（3）什么是除數？
在除法中，已知的一個因數叫除數。
（4）什么是商？
在除法中，求出的未知因數叫商。
20、乘法各部分的關系：
積=因數×因數 一個因數=積÷另一個因數
21、除法
（1）除法各部分間的關系：
商=被除數÷除數 除數=被除數÷商
（2）有余數的除法各部分間的關系：
被除數=商×除數 余數
22、什么是名數？
通常量得的數和單位名稱合起來的數叫名數。
23、什么是單名數？
只帶有一個單位名稱的數叫單名數。
24、什么是復名數？
有兩個或兩個以上單位名稱的數叫復名數。
25、什么是小數？
仿照整數的寫法，寫在整數個位的右面，用圓點隔開，用來表示十分之幾、百分之幾、千分之幾……的數叫小數。
26、什么是小數的基本性質？
小數的末尾添上零或者去掉零，小數大小不變，這叫小數的基本性質。
27、什么是有限小數？
小數部分的位數是有限的小數叫有限小數。
28、什么是無限小數？
小數部分的位數是無限的小數叫無限小數。
29、什么是循環節？
一個循環小數的部分依次不斷重復出現的數叫做這個數的循環節。
30、什么是純循環小數？
循環節從小數第一位開始的叫純循環小數。
31、什么是混循環小數？
循環節不是從小數部分第一位開始的叫做混循環小數。
32、什么是四則運算？
我們把學過的加、減、乘、除四種運算統稱四則運算。
33、什么是方程？
含有未知數的等式叫方程。
34、什么是解方程？
求方程解的過程叫解方程。
35、什么是倍數？什么叫約數？
如果a能被b整除，a就是b的倍數，b就叫a的約數（或a的因數）。
36、什么樣的數能被2整除？
個位上是0、2、4、6、8的數都能被2整除。
37、什么是偶數？
能被2整除的數叫偶數。
38、什么是奇數？
不能被2整除的數叫奇數。
39、什么樣的數能被5整除？
個位上是0或5的數能被5整除。
40、什么樣的數能被3整除？
一個數的各位上的和能被3整除，這個數就能被3整除。
41、什么是質數（或素數）？
一個數如果只有1和它本身兩個約數，這樣的數叫質數。
42、什么是合數？
一個數除了1和它本身還有別的約數，這樣的數叫合數。
43、什么是質因數？
每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式。其中每個質數都是這個合數的因數，叫做這個合數的質因數。
44、什么是分解質因數？
把一個合數用質因數相乘的形式表示出來叫做分解質因數。
45、什么是公約數？什么叫最大公約數？
幾個數公有的約數叫公約數。其中最大的一個叫最大公約數。
46、什么是互質數？
公約數只有1的兩個數叫互質數。
47、什么是公倍數？什么是最小公倍數？
幾個數公有的倍數叫這幾個數的公倍數。其中最小的一個叫這幾個數的最小公倍數。
48、分數
（1）什么是分數？
把單位1平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數叫分數。
（2）什么是分數線？
在分數里中間的橫線叫分數線。
（3）什么是分母？
分數線下面的部分叫分母。
（4）什么是分子？
分數線上面的部分叫分子。
（5）什么是分數單位？
把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份叫分數單位。
49、怎么比較分數大??？
（1）分母相同的兩個分數，分子大的分數比較大。
（2）分子相同的兩個分數，分母小的分子比較大。
（3）什么是真分數？
分子比分母小的分數叫真分數。
（4）什么是假分數？
分子比分母大或者分子和分母相等的分數叫假分數。
（5）什么是帶分數？
由整分數和真分數合成的數通常叫帶分數。
（6）什么是分數的基本性質？
分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（0除外），分數大小不變，這就是分數的基本性質。
（7）什么是約分？
把一個分數化成同它相等，但分子、分母都比較小的數叫做約分。
（8）什么是最簡分數？
分子、分母是互質數的分數叫最簡分數。
50、比
（1）什么是比？
兩個數相除又叫兩個數的比。
（2）什么是比的前項？
比號前面的數叫比的前項。
（3）什么是比的后項？
比號后面的數叫比的后項。
（4）什么是比值？
比的前項除以后項所得的商叫比值。
（5）什么是比的基本性質？
比的前項和后項同時乘以或者同時除以相同的數（0除外）比值不變，這叫比的基本性質。
51、長方體和正方體
（1）什么是棱？
兩個面相交的邊叫棱。
（2）什么是頂點？
三條棱相交的點叫頂點。
（3）什么是長方體的長、寬、高？
相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫長方體的長、寬、高。
（4）什么是正方體（立方體）？
長寬高都相等的長方體叫正方體（或立方體）。
（5）什么是長方體的表面積？
長方體六個面的總面積叫長方體的表面積。
（6）什么是物體體積？
物體所占空間的大小叫做物體的體積。
52、圓
（1）什么是圓心？
圓中心的點叫圓心。
（2）什么是半徑？
連接圓心和圓上任意一點的線段叫半徑。
（3）什么是直徑？
通過圓心、并且兩端都在圓上的線段叫直徑。
（4）什么是圓的周長？
圍成圓的曲線叫圓的周長。
（5）什么是圓周率？
我們把圓的周長和直徑的比值叫圓周率。
（6）什么是圓的面積？
圓所圍平面的大小叫圓的面積。
（7）什么是扇形？
一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫扇形。
（8）什么是??？
在圓上兩點之間的部分叫弧。
（9）什么是圓心角？
頂點在圓心上的角叫圓心角。
（10）什么是對稱圖形？
如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側圖形能夠完全重合，這樣的圖形就是對稱圖形。
53、什么是百分數？
表示一個數是另一個數百分之幾的數叫百分數，百分數也叫百分率或百分比。
54、比例
（1）什么是比例？
表示兩個比相等的式子叫比例。
（2）什么是比例的項？
組成比例的四個數叫比例的項。
（3）什么是比例外項？
兩端的兩項叫比例外項。
（4）什么是比例內項？
中間的兩項叫比例內項。
（5）什么是比例的基本性質？
在比例中兩個外項的積等于兩個內項的積。
（6）什么是解比例？
求比例中的未知項叫解比例。
（7）什么是正比例關系？
兩種相關的量，一種變化，另一種量也變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量叫正比例的量，它們的關系叫正比例關系。
（8）什么是反比例關系？
兩種相關的量，一種變化，另一種也隨著變化，如果這兩種量中相對應的積一定，這兩種量叫反比例的量，它們的關系成反比例關系。
55、圓柱
（1）什么是圓柱底面？
圓柱的上下兩個面叫圓柱的底面。
（2）什么是圓柱的側面？
圓柱的曲面叫圓柱的側面。
（3）什么是圓柱的高？
圓柱兩個底面的距離叫圓柱的高。
五年級數學重要知識點口訣和典型應用題，學會了當考神
小數除法法則
小數除法高位起，看著除數找規律。
除數是整直接除，除到哪位商哪位。
不夠商一零占位，商被除數點對齊。
小數除法變整數，被除數點同位移。
右邊數位若不夠，應該用零來補齊。
分數加減法法則
分數加減很簡單，統一單位是關鍵。
同分母分數相加減，分子加減分母不變。
異分母分數相加減，先通分來后計算。
分數乘法法則
分數乘法更簡單，分子、分母分別算。
分子相乘作分子，分母相乘作分母。
分子、分母不互質，先約分來后計算。
分數除法法則
分數除法最簡便，轉換乘法來計算。
除號變成乘號后，再乘倒數商出來。
質數、合數
分清質數與合數，關鍵就是看因數。
1的因數只一個，不是質數也非合數；
如果因數只兩個，肯定無疑是質數；
3個因數或更多，那就一定是合數。
分解質因數
合數分解質因數，最小質數去整除，
得出的商是質數，除數乘商來寫出；
得出的商是合數，照此方法繼續除，
直到得出質數商，再用連乘表示出。
求最大公因數
要求最大公因數，就用公因數去除，
直到商為互質數，除數連乘就得出；
如果兩數相比較，小是大數的因數，
不必再用短除式，小數就是公因數。
求最小公倍數
要求最小公倍數，公有質因數去除，
直到商為互質數，除數乘商就得出；
兩數若是互質數，乘積即為公倍數；
大是小數的倍數，不必去求已清楚。
100以內的質數
二三五七一十一，十三十九和十七，
二三二九三十一，三七四三和四一，
四七五三和五九，六一六七手拉手，
七一七三和七九，還有八三和八九，
左看右看沒對齊，原來還差九十七。
列方程解應用題
列方程解應用題，抓住關鍵去分析。
已知條件換成數，未知條件換字母，
找齊相關代數式，連接起來讀一讀。
百分數和小數互化
小數化成百分數，小數點右移要記住，
移動兩位并做到：在后面添上百分號。
百分數要化小數，小數點左移要記住，
移動兩位并做到：一定要去掉百分號。
百分數和分數互化
分數要化百分數，先把分數化小數；
除不盡時別發愁，三位小數可保留。
化成小數要記?。盒翟倩俜謹?。
百分數要化分數，把它改寫成分數，
能約分的要約分，約到最簡即完成。
分數（百分數）乘、除法一般應用題
判斷分數應用題，關鍵確定單位“1”。
只要找出標準量，比較量再去對比。
要求某數幾分幾，乘法計算最實際，
若知某數幾分幾，要求某數除法題。
分數乘除能辨清，百分數是同一理。
周長
正方形周長最易，邊長乘4計算完；
長方形耍手腕兒，長寬之和再乘2；
圓的周長有點怪，量出直徑再乘π。
面積
面積計算很容易，弄清道理是前提：
以長方形為基礎，長寬相乘即面積；
鄰邊相等正方形，邊長相乘就可以；
平行四邊形一樣，高底相乘求面積；
梯形上下底平均，和高相乘同一理；
上底為0三角形，它和梯形是同類；
圓的面積看仔細，半徑平方乘周率。
圓的畫法
確定中心定半徑，圓規尖腳固圓心，
另一只腳轉一圈，一個圓圈即畫成。
體積
計算體積并不難，弄清道理是關鍵：
以長方體為基礎，長寬高乘即得出；
三者相等正方體，棱長立方為體積；
圓柱底面乘以高，三分之一圓錐體；
容積要從里面量，計算方法同體積。
百分數應用題
解應用題先別慌，反復讀題頭一樁。
條件、問題關鍵句，一字不漏正反想。
線段圖，是拐杖。
用方程，切莫忘，化難為易它最強。
分數題，單位“1”，量率對應細分析。
三類九種基本題，你要牢牢記心里。
工程題、行程題，相互溝通正反比。
假設法、不變量，單位“1”要統一。
算完題，要檢驗，符合題意再答題。
比較應用題
計劃實際比較應用題，細分析不用急。
數量關系很重要，前后聯系很微妙。
先把關系寫上邊，解題思路它領先。
計劃實際在左面，上下對比一條線。
具體數量要體現，不變數量是關鍵。
按量填數看得準，最后再把問題填。
根據等式列方程，算術方法也簡單。
試商
兩位數除多位數，四舍五入試試商。
四舍試商容易大，逐步減1往小調。
五入試商容易小，逐步加1往大調。
多位數除法別作難，弄清算理最關鍵。
個位數是1，2，3，四舍方法來判斷。
個位數是4，5，6，近五口算最方便。
個位數是7，8，9，五入方法來試驗。
四舍五入試商妙，認真計算不出錯。
比例尺
求比例尺，很容易。
先把單位來統一，寫出圖距與實際距離比。
再根據基本性質去約分，比的前項化為1。
小數簡便計算
小數簡算并不難，認真審題不怕難；
認真分析再計算，運算規律莫記亂；
交換、分配和結合，算完還要再看看；
確保正確不失誤，勝利闖關來計算。
位置
標示位置有絕招，一組數據把位標；
左數為列右為行，列先行后不能調；
分數乘整數
分數乘整數，計算很簡單；
分子乘整數，分母不用變；
計算想簡便，約分要在先；
結果要想準，分數化最簡。
分數四則混合運算
分數四則混合算，運算順序記心間；
乘加乘減沒括號，加減在后乘在先；
一級二級四則算，二級算在一級前；
有了括號序改變，先算里頭后外邊；
運算定律仍有用，使用恰當變簡單。
圓的認識
圓的認識并不難，心徑特征要記全；
圓心一點定位置，大小二徑說得算；
直徑半徑都無數，圓心圓上線段連；
二者關系有條件，同圓等圓說在前；
直徑為兄半徑弟，兄長弟短二倍牽；
圓規畫圓挺容易，半徑即在兩腳間；
針尖定在圓心位，筆芯一轉就畫完。
圓的對稱性
圓的認識很簡單，對稱軸多數不完。
同圓直徑分兩半，繞心旋轉形不變。
圖形的變換
圖形變換并不難，平移旋轉對稱看；
方向數量中心點，六個要素記心間。
圖案設計
圖案設計要仔細，旋轉對稱和平移。
旋轉角度細分析，選好對稱是大計。
數好格子再平移，精美圖案沒問題。
比的意義
比的意義很重要，記憶方法有訣竅。
兩數相除即為比，除號變點真奇妙。
計算比值有妙招，兩項相除解決了。
比與分數和除法，三者關聯要記牢。
按比例分配
比的分配很重要，生活應用不可少。
比的意義來解答，對應份數要找好。
分數乘法來幫忙，各量依次求得了。
復式條形統計圖
復式條形統計圖，名稱圖例不能少。
縱橫兩軸先畫好，標好單位莫忘了。
注意條寬與間隔，單位長度要合理。
對照數據畫直條，不同顏色區分好。
復式折線統計圖
復式折線統計圖，名稱圖例不能少。
先畫縱橫兩條軸，標好單位莫忘了。
點點間距要相等，單位長度要找準。
描點連線要順次，不同折線區分好。
觀察物體
觀察物體有方法，不同方向去觀察。
多個角度畫一畫，然后動手搭一搭。
平面圖形告訴你，立體圖形猜一猜。
方塊的數量范圍，還原之后數一數。
觀察范圍
觀察范圍的大小，兩個條件來決定。
站得高，望得遠；角度小，影越短。
點與角度都重要，相互制約好朋友。
生活中的數
數據世界真奇妙，整體部分互轉化。
熟悉事物來描述，收集數據方法多。
詢問他人查資料，課外調查不能少。
分數的大小比較
分數大小的比較，分母相同看分子，
分子大的比較大；分子相同看分母，
分母小的反而大。
假分數化帶分數或整數
假分數化帶分數，分子分母去相除。
商為整數余分子，分母不變要記住。
如果兩數能整除，所得商就是整數。
帶分數與假分數的互化
帶分數化假分數，原分母仍作分母，
分母整數相乘積，和原分子加一處，
來作分子要記住。
一般應用題解答步驟
應用題解并不難，弄清題意是關鍵。
先從已知條件想，再往所求問題看。
也可逆向去思考，綜合分析作判斷。
畫圖可幫理思路，以此推導不出偏。
先算后算有次序，列出算式細心算。
算出結果要檢驗，最后莫忘寫答案。
小數乘法
小數乘法不算難，關鍵點好小數點。
因數小數位數和，等同積中小數位。
積中位數如不夠，用0補足再點點。
因數如果不為0，還有奧秘在其中。
一個因數小于1，另一因數大于積。
一個因數大于1，另一因數小于積。
典型應用題
具有獨特的結構特征的和特定的解題規律的復合應用題，通常叫做典型應用題。
（1）平均數問題：平均數是等分除法的發展。
解題關鍵：在于確定總數量和與之相對應的總份數。
算術平均數：已知幾個不相等的同類量和與之相對應的份數，求平均每份是多少。數量關系式：數量之和÷數量的個數=算術平均數。
加權平均數：已知兩個以上若干份的平均數，求總平均數是多少。
數量關系式 （部分平均數×權數）的總和÷（權數的和）=加權平均數。
差額平均數：是把各個大于或小于標準數的部分之和被總份數均分，求的是標準數與各數相差之和的平均數。
數量關系式：（大數－小數）÷2=小數應得數 最大數與各數之差的和÷總份數=最大數應給數 最大數與個數之差的和÷總份數=最小數應得數。
例1.一輛汽車以每小時 100 千米 的速度從甲地開往乙地，又以每小時 60 千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。
分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設為“ 1 ”，則汽車行駛的總路程為“ 2 ”，從甲地到乙地的速度為 100 ，所用的時間為 ，汽車從乙地到甲地速度為 60 千米 ，所用的時間是 ，汽車共行的時間為 = , 汽車的平均速度為 2 ÷ =75 （千米）
（2） 歸一問題：已知相互關聯的兩個量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變化的規律是相同的，這種問題稱之為歸一問題。
根據求“單一量”的步驟的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題，兩次歸一問題。
根據球癡單一量之后，解題采用乘法還是除法，歸一問題可以分為正歸一問題，反歸一問題。
一次歸一問題，用一步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一。”
兩次歸一問題，用兩步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一?！?
正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用乘法計算結果的歸一問題。
反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計算結果的歸一問題。
解題關鍵：從已知的一組對應量中用等分除法求出一份的數量（單一量），然后以它為標準，根據題目的要求算出結果。
數量關系式：單一量×份數=總數量（正歸一）
總數量÷單一量=份數（反歸一）
例2. 一個織布工人，在七月份織布 4774 米 ， 照這樣計算，織布 6930 米 ，需要多少天？
分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。693 0 ÷（ 477 4 ÷ 31 ） =45 （天）
（3）歸總問題：是已知單位數量和計量單位數量的個數，以及不同的單位數量（或單位數量的個數），通過求總數量求得單位數量的個數（或單位數量）。
特點：兩種相關聯的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過變化的規律相反，和反比例算法彼此相通。
數量關系式：單位數量×單位個數÷另一個單位數量 = 另一個單位數量
單位數量×單位個數÷另一個單位數量= 另一個單位數量。
例3. 修一條水渠，原計劃每天修 800 米 ， 6 天修完。實際 4 天修完，每天修了多少米？
分析：因為要求出每天修的長度，就必須先求出水渠的長度。所以也把這類應用題叫做“歸總問題”。不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。80 0 × 6 ÷4=1200 （米）
（4） 和差問題：已知大小兩個數的和，以及他們的差，求這兩個數各是多少的應用題叫做和差問題。
解題關鍵：是把大小兩個數的和轉化成兩個大數的和（或兩個小數的和），然后再求另一個數。
解題規律：（和＋差）÷2 = 大數 大數－差=小數
（和－差）÷2=小數 和－小數= 大數
例4. 某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要臨時從乙班調 46 人到甲班工作，這時乙班比甲班人數少 12 人，求原來甲班和乙班各有多少人？
分析：從乙班調 46 人到甲班，對于總數沒有變化，現在把乙數轉化成 2 個乙班，即 9 4 － 12 ，由此得到現在的乙班是（ 9 4 － 12 ）÷ 2=41 （人），乙班在調出 46 人之前應該為 41 46=87 （人），甲班為 9 4 － 87=7 （人）
（5）和倍問題：已知兩個數的和及它們之間的倍數 關系，求兩個數各是多少的應用題，叫做和倍問題。
解題關鍵：找準標準數（即1倍數）一般說來，題中說是“誰”的幾倍，把誰就確定為標準數。求出倍數和之后，再求出標準的數量是多少。根據另一個數（也可能是幾個數）與標準數的倍數關系，再去求另一個數（或幾個數）的數量。
解題規律：和÷倍數和=標準數 標準數×倍數=另一個數
例5.汽車運輸場有大小貨車 115 輛，大貨車比小貨車的 5 倍多 7 輛，運輸場有大貨車和小汽車各有多少輛？
分析：大貨車比小貨車的 5 倍還多 7 輛，這 7 輛也在總數 115 輛內，為了使總數與（ 5 1 ）倍對應，總車輛數應（ 115-7 ）輛 。
列式為（ 115-7 ）÷（ 5 1 ） =18 （輛）， 18 × 5 7=97 （輛）
（6）差倍問題：已知兩個數的差，及兩個數的倍數關系，求兩個數各是多少的應用題。
解題規律：兩個數的差÷（倍數－1 ）= 標準數 標準數×倍數=另一個數。
例6. 甲乙兩根繩子，甲繩長 63 米 ，乙繩長 29 米 ，兩根繩剪去同樣的長度，結果甲所剩的長度是乙繩 長的 3 倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米？各減去多少米？
分析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長度是乙繩的 3 倍，實比乙繩多（ 3-1 ）倍，以乙繩的長度為標準數。列式（ 63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米）…乙繩剩下的長度， 17 × 3=51 （米）…甲繩剩下的長度， 29-17=12 （米）…剪去的長度。
（7）行程問題：關于走路、行車等問題，一般都是計算路程、時間、速度，叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清楚速度、時間、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他們之間的關系，再根據這類問題的規律解答。
解題關鍵及規律：
同時同地相背而行：路程=速度和×時間。
同時相向而行：相遇時間=速度和×時間
同時同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及時間=路程速度差。
同時同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×時間。
例7. 甲在乙的后面 28 千米 ，兩人同時同向而行，甲每小時行 16 千米 ，乙每小時行 9 千米 ，甲幾小時追上乙？
分析：甲每小時比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小時可以追近乙（ 16-9 ）千米，這是速度差。
已知甲在乙的后面 28 千米 （追擊路程）， 28 千米 里包含著幾個（ 16-9 ）千米，也就是追擊所需要的時間。列式 2 8 ÷ （ 16-9 ） =4 （小時）
（8）流水問題：一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它也是一種和差問題。它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。
船速：船在靜水中航行的速度。
水速：水流動的速度。
順水速度：船順流航行的速度。
逆水速度：船逆流航行的速度。
順速=船速＋水速
逆速=船速－水速
解題關鍵：因為順流速度是船速與水速的和，逆流速度是船速與水速的差，所以流水問題當作和差問題解答。解題時要以水流為線索。
解題規律：船行速度=（順水速度 逆流速度）÷2
流水速度=（順流速度逆流速度）÷2
路程=順流速度× 順流航行所需時間
路程=逆流速度×逆流航行所需時間
例8. 一只輪船從甲地開往乙地順水而行，每小時行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比順水多行 2 小時，已知水速每小時 4 千米。求甲乙兩地相距多少千米？
分析：此題必須先知道順水的速度和順水所需要的時間，或者逆水速度和逆水的時間。已知順水速度和水流 速度，因此不難算出逆水的速度，但順水所用的時間，逆水所用的時間不知道，只知道順水比逆水少用 2 小時，抓住這一點，就可以就能算出順水從甲地到乙地的所用的時間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。
列式為 284 × 2=20 （千米） 2 0 × 2 =40 （千米） 40 ÷（ 4 × 2 ） =5 （小時） 28 × 5=140 （千米）。
（9） 還原問題：已知某未知數，經過一定的四則運算后所得的結果，求這個未知數的應用題，我們叫做還原問題。
解題關鍵：要弄清每一步變化與未知數的關系。
解題規律：從最后結果 出發，采用與原題中相反的運算（逆運算）方法，逐步推導出原數。
根據原題的運算順序列出數量關系，然后采用逆運算的方法計算推導出原數。
解答還原問題時注意觀察運算的順序。若需要先算加減法，后算乘除法時別忘記寫括號。
例9. 某小學三年級四個班共有學生 168 人，如果四班調 3 人到三班，三班調 6 人到二班，二班調 6 人到一班，一班調 2 人到四班，則四個班的人數相等，四個班原有學生多少人？
分析：當四個班人數相等時，應為 168 ÷ 4 ，以四班為例，它調給三班 3 人，又從一班調入 2 人，所以四班原有的人數減去 3 再加上 2 等于平均數。四班原有人數列式為 168 ÷ 4-2 3=43 （人）
一班原有人數列式為 168 ÷ 4-6 2=38 （人）；二班原有人數列式為 168 ÷ 4-6 6=42 （人） 三班原有人數列式為 168 ÷ 4-3 6=45 （人）。
（10）植樹問題：這類應用題是以“植樹”為內容。凡是研究總路程、株距、段數、棵樹四種數量關系的應用題，叫做植樹問題。
解題關鍵：解答植樹問題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然后按基本公式進行計算。
解題規律：沿線段植樹
棵樹=段數 1 棵樹=總路程÷株距 1
株距=總路程÷（棵樹-1） 總路程=株距×（棵樹-1）
沿周長植樹
棵樹=總路程÷株距
株距=總路程÷棵樹
總路程=株距×棵樹
例10. 沿公路一旁埋電線桿 301 根，每相鄰的兩根的間距是 50 米 。后來全部改裝，只埋了201 根。求改裝后每相鄰兩根的間距。
分析：本題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數減掉一。列式為 50 ×（ 301-1 ）÷（ 201-1 ） =75 （米）
（11 ）盈虧問題：是在等分除法的基礎上發展起來的。他的特點是把一定數量的物品，平均分配給一定數量的人，在兩次分配中，一次有余，一次不足（或兩次都有余），或兩次都不足），已知所余和不足的數量，求物品適量和參加分配人數的問題，叫做盈虧問題。
解題關鍵：盈虧問題的解法要點是先求兩次分配中分配者沒份所得物品數量的差，再求兩次分配中各次共分物品的差（也稱總差額），用前一個差去除后一個差，就得到分配者的數，進而再求得物品數。
解題規律：總差額÷每人差額=人數
總差額的求法可以分為以下四種情況：
第一次多余，第二次不足，總差額=多余 不足
第一次正好，第二次多余或不足 ，總差額=多余或不足
第一次多余，第二次也多余，總差額=大多余-小多余
第一次不足，第二次也不足， 總差額= 大不足-小不足
例11. 參加美術小組的同學，每個人分的相同的支數的色筆，如果小組 10 人，則多 25 支，如果小組有 12 人，色筆多余 5 支。求每人 分得幾支？共有多少支色鉛筆？
分析：每個同學分到的色筆相等。這個活動小組有 12 人，比 10 人多 2 人，而色筆多出了（ 25-5 ） =20 支 ， 2 個人多出 20 支，一個人分得 10 支。列式為（25-5 ）÷（ 12-10 ） =10 （支） 10 × 12 5=125 （支）。
（12）年齡問題：將差為一定值的兩個數作為題中的一個條件，這種應用題被稱為“年齡問題”。
解題關鍵：年齡問題與和差、和倍、 差倍問題類似，主要特點是隨著時間的變化，年歲不斷增長，但大小兩個不同年齡的差是不會改變的，因此，年齡問題是一種“差不變”的問題，解題時，要善于利用差不變的特點。
例12. 父親 48 歲，兒子 21 歲。問幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍？
分析：父子的年齡差為 48-21=27 （歲）。由于幾年前父親年齡是兒子的 4 倍，可知父子年齡的倍數差是（ 4-1 ）倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍。列式為：21（ 48-21 ）÷（ 4-1 ） =12 （年）
（13）雞兔問題：已知“雞兔”的總頭數和總腿數。求“雞”和“兔”各多少只的一類應用題。通常稱為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題
解題關鍵：解答雞兔問題一般采用假設法，假設全是一種動物（如全是“雞”或全是“兔”，然后根據出現的腿數差，可推算出某一種的頭數。
解題規律：（總腿數－雞腿數×總頭數）÷一只雞兔腿數的差=兔子只數
兔子只數=（總腿數-2×總頭數）÷2
如果假設全是兔子，可以有下面的式子：
雞的只數=（4×總頭數-總腿數）÷2
兔的頭數=總頭數-雞的只數
例13. 雞兔同籠共 50 個頭， 170 條腿。問雞兔各有多少只？
兔子只數 （ 170-2 × 50 ）÷ 2 =35 （只）
雞的只數 50-35=15 （只）
周易數學、學術論證教學
解剖易原創作品
第九課、太極八卦數碼運算驗證
研究陰陽太極的本質目的在于利用。利用大自然的運動規律幫助人類了解、解決現實生活中遇到的實際問題。在沒有任何數據、證據、依據的環境之下，必須依靠運用虛構、假設、圖象模似的手段幫助大腦記憶，從中索取有效成份數據為依據，根據數據作出正解的判斷，是學術論證的核心內容。
根據陰陽太極圓的本質定義，所有的易學概念必須跟著太陽轉。上9下6，終還是6。66等于36，99等于81，還是等于9。圓的極限量度值是36，圓的極限數值是9。陰陽五行八卦的定義是，9層、7子、63卦。認定為有效數據、依據、證據，繼續深層論證教學。
道具制作，首先選用笏絲繞足9圈，大約直徑為33，綽成一個圓。假設認定這個圓是9層7子63卦的陰陽太極八卦圓。然后兩手捏緊圓圈的對峙點，用力扭成一個8字形的實物體，用繩子將交點固定。由于該物體是人為手工制作，不可能使這兩個相切完全相等，唯有運用假設的手段，認定這兩個圓相等相切。并且認定該太極八卦圓被這兩個圓全等平分。
為了幫助記憶，隨便找一個瓶蓋在紙面上照樣畫胡蘆，作出兩個相切圓圖象備用。當然，這兩個相切圓可以視作是無窮循環模型，也可以視作太極陰陽二象。于第八課講述使用的圖象原理基本相同，所不同的是9層、7子、63卦。
終上所述，我們已經知道認定這個多股笏絲實物圓是一個太極八卦圓。根據太極八卦推演所得的極限數值是63卦，作為第三圓。兩個相等的相切圓是由第三圓平分分解而成，于此同時，也就將《周易》六十三卦中的數碼63、被分解平分作兩半。用數碼表示，分別是3.15，3.15，將這兩個相等的數值分別記錄到紙面模型圖中。
由于這兩個相切圓的周長之和，本身就是第三圓的周長，這兩個圓的面積也是由第三圓扭曲平分奏合而成。其中一個相切圓是第三圓的半徑，兩個相切圓則是第三圓的直徑。
根據圓形面積的定義是49，即是一個相切圓的平方跟另一個相切圓的乘積，等于第三圓的面積。兩個相切圓的相互乘積之和，等于第三圓的周長。
根據近代人類使用割圓術、滾圓術所作出的定義，圓的周長等于直徑乘兀。兀即是滾圓術所得的圓周長度跟該圓直徑的此率。
這里指的是兩個相切圓被第三圓內切，判定三圓之間的連貫關系的直徑都是9。即使第三圓的直徑是18，實質上也是等于9。故此認定兩個相切圓的相互乘積之和等于第三圓的周長。
也就是說，《周易》數學運算是將兩個相切圓的其中一個視作直徑，將另一個視作是圓周常數3.15作為涉圓推演運算、固定數值使用。當然，在實際運算使用時，應當以圓的真實直徑數據為準。例如，第三圓的直徑是18跟陰陽定律3.15的乘積，即是第三圓的周長56.7。圓周率3.1416跟18的乘積等于56.6，前者的合數等于9，后者的合數等于8，不等于圓。
為了防止圓周率3.1416與陰陽定律3.15產生混淆，解剖易將《周易》數學剖析所得的結論數據設定為陰陽定律，用丌3.15表示。圓周率與陰陽定律沒有任何數理關系。丌是從《周易》六十三卦直接生化而成的精準數據。
打開備用紙質圖象，先將左邊的3.15視作36是圓的實體面積，36的合數9是圓的直徑。右邊的3.15保持不變，將它視作圓的參數值，即是近代人類表述的圓周率。然后運用直徑9跟陰陽定律3.15相乘，得出左邊圓的周長。再將左右數據反轉相乘，得出右邊圓的周長。這兩個相切圓的周長之和，等于第三圓直徑18乘以3.15，即是第三圓的周長。以下進入數字實運算驗證。
相等相切的兩個圓互乘：
9X3.15二28.35、（周長）。
3.15X9二28.35、（周長）。
兩圓周長之和：
28.35十28.35二56.7、（第三圓的周長）。
第三圓的直徑乘丌：
18X3.15二56.7、（第三圓的周長）。
驗證結果相等：56.7二56.7。
終極驗證：
將運算所得結果56.7分作前數和后數，前數是56，合數為11，等于2。后數是7。前后合數是，2十7二9，終極結果都等于9。
證明：相等相切的兩個圓被第三個圓內切，這兩個圓的相互乘積之和，等于第三圓的周長理論成立。
特別注意，《周易》數學屬于大乘教法，數字運算法則與現代人類使用的小乘教法運算基本相同，所不同的是將運算所得結果、尾數為0時，先將0銷除再確認小數點移位，定作前后數碼分界定點。或者說，以后數乘積結果認定分界點，分界點不讀小數點。然后以分界點為標準，前數相加作前數，后數相加作后數。倘若出現多位數時，必須分別連續相加，直至單個數為止。
然后將前后數相加，驗證結果等于9時，證明該算式準確成立，能構成一個閉合圓。如果驗證結果不等于9，證明這道算術題錯誤，不可能構成一個閉合圓。
由此可以證明，圓周率3.1416跟任何數值的直徑、半徑的乘積，只能構成一個螺旋體，不能構成一個閉合圓。也就證明圓周率使用3.1416是錯誤的。
論證二：
前面是將多股笏絲圈直接認定為63卦作為論證依據，很有可能被誤解為人為故意設定數據依據強行奏合3.15，蒙騙讀者。這里不將多股笏絲圈視作63，將它認定為7子9層進行二次論證。
實物操作原理跟前述相同。只是將9層認定被全等平分，平分所得的數據分別是4.5，4.5，將這兩個數碼記錄到無窮循環的兩個相切圓中幫助記憶。然后運用數字運算驗證。
數字運算：
4.5x7=3.15。前數是3，后數是6，前后合數等于9。
算式小數點分界辦法，凡是有小數點的數，應當視作前后數。乘數與被乘數的積產生兩位數時，小數點移位則按前積后積區分確認。
例如：
4、5x7=28、35。前數是10，后數是8，前后合數等于18，最終還是等于9。9又可以變化作3.15，即是36。只是變化的形式狀態的不同，結果一樣。
那么，這個3.15中15的本質究竟是什么，根據太極八卦坐標，上6下6，左3右3的設定，3為陽數，6為陰數，9是6的倒轉數。9與6的和乃天地合數，等于15。3分左右各半，也是等于15。無論分解還是化合終等于6，也就是說，太極運動的坐標無論怎么樣變化，上下左右始終保持6的狀態不變。
由此證明太極八卦運動始終保持3.6.9不變，保持3.15數值運行不變。實際上15即是河洛中所指的五、十居中運行。3.15正是太極八卦的核心，是推演運算使用永恒不變的常用數據。是3.6.9的化身。
3生萬物終歸于9。陽數3跟任何數值相乘，結果都不會跳出3.6.9的范圍之內。
例如：
一三得三、二三得六、三三得九，結果是3.6.9。三四得十二、三五得十五、三六得十八，結果的合數也是等于3.6.9。三七得二十一、三八得二十四、三九得二十七，結果的合數同樣是3.6.9。根據三組數碼運算的結果證明，3、15就是3.6.9的化身。
故此判定：3.15是《圓周易》數學中的陰陽定律。
理論證明，論證陰陽定律過程使用的實物、數據、證據，全面展示了一生二，二生三，三生萬物的演變事實。證明《易經》是從《圓周易》數學中派生出來的文字譯義作品。
從算悟空有七十二變化，二師兄有三十六變化，妖怪能千變萬化，始終逃脫不出如來的手掌心。九九八十一，終歸作9。
《西游記》曾經描述觀音云游東土，尋訪賢能之士普度眾生時說過，“師傅現今傳授的是小乘教法，我有大乘教法三藏，不知師傅愿意取否”。實質上，《西游記》的作者是借助神話敘述了《周易》數學的起源，盡在大乘教法三藏之中。
說到這里，需回顧訪問開頭的設計。第一課的開頭設置，是以無極圓和日夜極限圓化合成象模型，作為論證基礎依據。借助圖象形態變化思維，逐漸深入論證。
初始對《周易》數學論證的設定，并未完全了解教學內容會牽扯到現代數學教學中、眾多的公式和定理。比如說，六十甲子圓，原本以為真的是由六十甲子排列構成。自從破解勾、股、弦的真相之后，發現勾3、股4、弦5指的是半個時辰的邊角關系。經論證結果證明，甲子圓必須有六十三個甲子合成，之前的都是表面假象。
從時辰概念著手深入論證，從中剖釋出圓的定義，圓的極限量度，圓的終極數值，《周易》是圓周易的簡稱，等等眾多的定義、定理、定律，無需重復盡列。
最重要的是通過搜索論證，挖掘出天地陰陽三合之數，人人合適使用的陰陽定律丌3.15，這組數碼或許就是易經中通常所指的，天、地、人、神合適共用的唯一圓整數據。
之所以說，審理任何類形的案件，必須以涉事的實物、客觀存在的事實為依據。根據事物的本質屬性、變化，排除一切人為水份證據，作出經得起翻復推鼓驗證的結論，是證明事實真相的結論。
《周易》數學十大論證即將發布完畢，倘若受教學內容的影響，產生心理不平衡的言詞，應當在評論區提出。第十課、圓周率、陰陽定律數字計算撿察，將于8月18日前后發布，敬請留意。（2021年8月3日發布）。